Задачі з теорії ймовірностей
№1. Є 4 червоних, 5 білих та 6 блакитних маршрутних такси. На маршрут виїхало 4 таксі. Яка ймовірність того, що:
а) всі таксі будуть одного кольору;
б) хоча б одна маршрутка виявиться червоною;
с) на маршруті будуть 1 червоне, 2 білих та 1 блакитне таксі?
Розв’язання: a) Подія А – всі таксі одного кольору.
Маємо:
б) Подія В – серед 4 маршруток, хоча б одна маршрутка виявиться червоною.
Маємо:
с) Подія С – на маршруті будуть 1 червоне, 2 білих та 1 блакитне таксі.
Маємо:
Відповідь: а) 0,015; б) 0,758; с) 0,176.
№2. Кожна з двох урн містіть 8 чорних та 2 білих . З другої урни навмання беруть кульку й перекладають її в першу урну. Знайти ймовірність того, що кулька, взята с першої урни, буде чорною.
Розв’язок: Подія А – кулька, взята с першої урни, чорна.
Гіпотези: переклали біла кулька;
переклали чорна кулька.
Ймовірності гіпотез:
З формулі повної ймовірності маємо:
Відповідь: 0,8.
№3. Випадкову величину Х задано інтегральною функцією F(Х). Потрібно:
- визначити сталу С;
- знайти диференціальну функцію f(х);
- обчислити математичне сподівання і дисперсію величини Х;
- побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій.
Розв’язання: Використовуючи властивість інтегральної функції, отримаємо:
;
математичне сподівання:
дисперсія:
№ 4. Задано математичне сподівання М[Х]=m та середнє квадратичне відхилення ? =(D[Х])0,5 випадкової величини Х з нормальним розподілом.
Знайти ймовірність того, що:
- Х набуде значення , яке належить інтервалу (а; b);
- абсолютна величина відхилення Х(m) буде меншою за ? .
m = 11, ? = 2, а = 9, b = 12, ? = 2.
Розв’язання: Імовірність того, що нормально розподілена випадкова величина х прийняла значення з інтервалу , визначається по наступній формулі:
,
де функція Лапласу.
Тоді
№5. Значення з нормальним розподілом випадкової величини Х задано в таблиці . Потрібно:
- знайти оцінки її математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратного відхилення;
- побудувати гістограму та полігон розподілу;
- оцінити довірчий інтервал, який з надійністю ? = 0,95 накриває значення математичного сподівання величини Х.
0,76 1,02 0,52 0,21 0,23 -1,12 -0,44 0,11 0,42 -0,88
0,37 0,07 1,99 1,26 0,73 0,65 0,66 1,29 -0,12 -0,15
0,51 -1,65 1,47 0,57 -1,2 1,84 0,34 0,09 -1,43 -0,43
0,29 0,34 -0,85 -0,03 -0,89 0,08 -0,08 -0,21 -0,64 -0,49
Розв’язання:
1) Оцінкою математичного сподівання випадкової величини Х являється середня арифметична:
оцінка її дисперсії:
оцінка її середнього квадратного відхилення:
2) Побудуємо гістограму та полігон розподілу.
3) Подуємо довірчий інтервал, який з надійністю ? = 0,95 накриває значення математичного сподівання величини Х.
Визначимо середню помилку вибіркової середньої:
При , . .
Отже, довірчий інтервал:
.
Таким чином, з надійністю ? = 0,95 можна стверджувати, що значення математичного сподівання величини Х у генеральній сукупності знаходиться в середині інтервалу (–0,119; 0,379).
